vatinno On agosto - 2 - 2014
Una pagina autografa di Einstein sul calcolo tensorialehttp://www.giuseppevatinno.it/wordpress/wp-content/uploads/2014/08/14L-245x300.jpeg 245w" sizes="(max-width: 531px) 100vw, 531px" />

Una pagina autografa di Einstein sul calcolo tensoriale

Sappiamo dal Principio di Relatività, sia galileiana che einsteniana, che la velocità “non ha importanza”; con questa espressione intendiamo dire che l’esito di un esperimento di fisica non risente dello stato di moto uniforme (o di quiete) del sistema di riferimento in cui avviene o, in modo matematico, che le equazioni differenziali che rappresentano il fenomeno sono invarianti (cioè non cambiano forma) nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro. Le velocità, secondo la Teoria della Relatività Speciale, sono tutte relative e non ha senso alcuno parlare di una velocità assoluta, riferita ad uno spazio assoluto.
A questo punto viene naturale chiedersi se tale ragionamento si possa fare anche per l’accelerazione (che è una variazione nel tempo della velocità e tecnicamente la sua derivata).E cioè se abbia senso o meno parlare di “accelerazione assoluta” o se occorra parlare solo di accelerazioni relative.
Questo argomento è molto sottile.Lo stesso Newton se ne occupò nel suo Principia Mathematica Fhilosophiae Naturalis pubblicato nel 1687.
Newton fa il seguente esempio.
Si supponga di avere un secchio legato ad una fune che possa ruotare su se stesso; si agganci la fune al soffitto e la si attorcigli; poi si versi dell’acqua all’interno del secchio.Inizialmente l’acqua è in quiete rispetto al secchio fermo ed ha la forma di una superficie piana.Si lasci quindi libera la corda di srotolarsi; il secchio allora si mette in rotazione; esso comunicherà via via il suo moto all’acqua contenuta al suo interno e questa comincerà a salire lungo i bordi del secchio stesso assumendo la forma geometrica di un paraboloide (di rotazione). Maggiore sarà la velocità di rotazione e maggiore sarà l’altezza raggiunta sulle pareti dall’acqua.
Newton studia il moto relativo di acqua e secchio (trascurando totalmente il resto dell’universo) in diverse fasi.

0) Inizialmente secchio e acqua sono fermi: moto relativo nullo, deformazione acqua nulla (forma geometrica assunta dall’acqua:piano).
1) Dopo aver annodato la fune si mette l’acqua nel secchio e si lascia andare la corda.Il secchio comincia a ruotare l’acqua conserva la forma di una superficie piana.Vi è un moto relativo, ma nessuna deformazione.
2) Il secchio ruotando comunica, grazie alla forza centrifuga, il moto all’acqua che sale lungo i bordi e si dispone in forma di un paraboloide. All’equilibrio tra la forza di gravità e quella centrifuga l’acqua e il secchio sono in quiete relativa tra loro e la deformazione è massima (paraboloide)
3) Si ferma il secchio e l’acqua ha la forma (ancora) di un paraboloide.Esiste un moto relativo con deformazione dell’acqua.

Dunque, in 0) e 2) non esiste un moto relativo, ma una volta non vi è deformazione della superficie del liquido (superficie piana) 0) e l’altra sì (paraboloide) 2).Quindi, dice Newton, non è il moto relativo che provoca la deformazione della superficie dell’acqua (che altrimenti assumerebbe sempre la stessa forma), ma bensì il moto assoluto.Tale moto non può essere rispetto alla Terra che è deformata ai poli e quindi deve essere rispetto ad uno “spazio assoluto”.
La prima critica a questo ragionamento emerse dal vescovo George Berkley una ventina di anni dopo;per lui il secchio agiva sull’acqua, ma lo faceva in modo assolutamente trascurabile a causa della sua piccola massa mentre il resto della materia dell’Universo -le “stelle fisse- lo facevano in maniera ben più determinante.
Dunque un esperimento che potrebbe essere realizzato consiste nel cercare l’effetto di diverse densità (molto grandi) del materiale di cui è costituito il secchio sull’acqua.
Successivamente Leibnitz, Mach ed Einstein condivisero questa spiegazione. Il moto è rispetto alle “stelle fisse” cioè rispetto ad una “media” (ponderata) di tutta la materia dell’Universo.
Per Mach, in particolare, se si inspessissero le pareti del secchio rotante fino a qualche miglio la situazione del punto 1) cambierebbe.In tal caso, infatti, lo spessore del secchio rotante produrrebbe immediatamente (e non solo dopo aver comunicato lentamente il moto) la figura del paraboloide sull’acqua.
Questo caso simulerebbe la rotazione dell’intero universo intorno all’acqua e al secchio.
Immaginiamo appunto un esperimento mentale che non si può realizzare praticamente e immaginiamo quindi di riuscire a ruotare le stelle fisse e tutta la materia del cosmo rispetto al secchio invece che ruotare il secchio rispetto alle stelle.Cosa accadrebbe alla
forma dell’acqua?

newtonsBucket

Newton riteneva che in questo caso la forma dell’acqua sarebbe rimasta piatta perchè l’accelerazione doveva considerarsi assoluta e non relativa.Invece, Ernest Mach nel suo libro del 1883 “La meccanica nel suo sviluppo storico critico” riteneva che anche in questo caso l’acqua sarebbe salita lungo le pareti del secchio assumendo esattamente la stessa forma e cioè una superficie parabolica.Questo perché Mach ed Einstein ritenevano che solo l’accelerazione relativa e non quella assoluta avessero senso.In realtà Mach, ancor più in generale, riteneva che la stessa inerzia non fosse una proprietà intrinseca di un corpo ,ma che bensì fosse determinata dall’influenza di tutta la materia dell’ universo.A questo concetto Einstein dette il nome di “Principio di Mach”.
Successivamente anche Einstein nel suo articolo I fondamenti della Teoria della Relatività Generale del 1916 si occupa di questo caso ed immagina due corpi fluidi di forma sferica (a riposo) che, “isolati” nello spazio vuoto (cioè molto lontano da influenze di altri corpi), possono ruotare intorno ad un asse con una certa velocità angolare. Ebbene si può osservare che uno prende una forma di un ellissoide e l’altro resta una sfera.Einstein afferma che tale diverso comportamento è imputabile unicamente alla interazione con le “stelle fisse” che si mostra sotto forma di certe forze fittizie (accelerazione centrifuga) in questo ribadendo l’essenza del Principio di Mach (da cui discende la relatività delle accelerazioni).
Si osservi, tra l’altro, come nel caso dell’esistenza di due soli corpi nell’universo il paradosso dei gemelli della Relatività Speciale tornerebbe ad essere un vero paradosso anche in Relatività Generale perchè l’accelerazione sarebbe necessariamente relativa e si perderebbe la asimmetricità invocata per risolvere il paradosso.
Einstein cercherà di quantificare questo principio in alcuni lavori relativi alla sua Teoria della Relatività Generale che è del 1916.Per fare questo determina i coefficienti spaziali del tensore metrico in relazione alla forza di gravità che agisce sulla massa in esame a causa della massa dell’intero universo.In seguito Einstein si allontanerà dal Principio di Mach e dalla sua filosofia, anche perchè furono trovate soluzioni delle equazioni di campo anche in assenza di materia (ma con la presenza della cosiddetta costante cosmologica).
Tuttavia la Relatività Generale non giunge alla conclusione che esistano solo accelerazioni relative;se questo fosse vero presi due qualsiasi sistemi di riferimento non inerziali, ad esempio ruotanti con una certa velocità angolare, sarebbero comunque equivalenti nella descrizione dei fenomeni fisici.Su questo punto delicato occorre fare qualche riflessione. In realtà la Relatività Generale non è una teoria che prosegue sulla strada di quella Speciale.La Speciale ha relativizzato la velocità, ma quella Generale non ha relativizzato completamente l’accelerazione. Ha solo, tramite il Principio di Equivalenza, posto l’uguaglianza (locale) di un sistema di riferimento accelerato con un campo gravitazionale uniforme.Mentre gli effetti di contrazione delle lunghezze e della dilatazione delle durate sono simmetrici nella Relatività Speciale, non lo sono più nella Relatività Generale (ad esempio la dilatazione delle durate e la contrazione delle lunghezze nei pressi di un oggetto gravitazionale massiccio come un buco nero non sono simmetrici).
La gravità dunque non pare essere una forza come tutte le altre; infatti, a causa proprio della legge di Newton F = M A e del relativo principio di Equivalenza un sistema accelerato uniformemente è equivalente (almeno localmente) ad un campo gravitazionale.Questo perchè la massa inerziale risulta essere proporzionale alla massa gravitazionale e quindi l’accelerazione è identica per ogni corpo; dunque un corpo in caduta libera non “sente” il campo gravitazionale ed è in una situazione equivalente a quella che avrebbe in un moto rettilineo uniforme.Questo non è vero, ad esempio, per la forza elettrica; una carica “cade” in un campo gravitazionale con una accelerazione diversa da corpo a corpo, dipendendo dal rapporto tra carica elettrica e massa.
In effetti, in Relatività Generale, la gravità non viene considerata una vera “forza”, ma piuttosto una caratteristica geometrica dello spaziotempo (più propriamente la sua curvatura).Questo fatto getta luce su i tentativi di costruire una “Teoria del Tutto” che unifichi le Teorie di Grande Unificazione (forza nucleare debole,elettromagnetica e nucleare forte) con la gravità stessa.Infatti, Einstein perseguiva una strada diversa: per molto tempo cercò di unificare (inutilmente) gravità ed elettromagnetismo su proprietà geometriche dello spaziotempo cercando un analogo della curvatura per l’elettromagnetismo stesso.
Lo scienziato tedesco cercò di generalizzare la Relatività Generale utilizzando il tensore metrico non più simmetrico ma separandolo in una parte simmetrica ed una antisimmetrica nel tentativo di rendere conto sia delle proprietà gravitazionali che elettromagnetiche della materia.Tuttavia questo metodo non portò al risultato atteso.
Interessante notare come la RG sia una teoria che fornisce una spiegazione naturale all’apparire delle misteriose forze d’inerzia della meccanica newtoniana.A questo proposito segnalo l’articolo di Kornel Lancszos, un matematico ungherese che fu assistente di Einstein nel periodo 1928-29.
http://fisica.unipv.it/antoci/re/Lanczos23a.pdf
In questo articolo vi è una interessante esposizione dell’espressione di una forza nella RG.Questa forza, proiettata poi sui tre assi spaziali, rappresenta una forza di gravitazione-centrifuga (del tutto inedita in meccanica newtoniana e in RS), una forza di Coriolis ed una forza inerziale apparente che pare non avere corrispettivo classico.Desta molto interesse, a mio avviso, il fatto che in RG la forza di gravitazione di Newton e la forza centrifuga siano unificate.

Bibliografia:

Vatinno G., Storia naturale del Tempo: L’effetto Einstein e le Teoria della Relatività, Armando Editore, Roma, 2014.

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Categories: Articoli scientifici

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